题文
（理）正数列
的前
项和
满足：
，
常数
（1）求证：
是一个定值；
（2）若数列
是一个周期数列，求该数列的周期；
（3）若数列
是一个有理数等差数列，求
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（理）证明：（1）
（1）
（2）
：
（3）
（4）
……………4分
（2）计算
……………6分
根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：
，
，
，
，
，。。。。
当
时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列 ……………8分
所以
时，数列写出数列的前几项：
，
，
，
，，。。。。
所以当
且
时，该数列的周期是2， ……………9分
当
时，该数列的周期是1， ……………10分
（3）因为数列
是一个有理等差数列，所以
化简
，
是有理数 ……………12分
设
,是一个完全平方数，设为
，
均是非负整数
时，
……………14分
时
=
可以分解成8组，其中
只有
符合要求， ……………16分
此时
……………18分
或者
， ……………12分
等差数列的前几项：
，
，
，。。。。
……………14分
因为数列
是一个有理等差数列
是一个自然数，
……………16分
此时
……………18分
如果没有理由，猜想：
，解答
得2分
得2分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“（理）正数列的前项和满足：，常数（1）求.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
