题文
（本题满分18分）各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足
，数列
满足
，数列
的前
项和为
，求
；
（3）若数列
，甲同学利用第（2）问中的
，试图确定
的值是否可以等于2011？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由.
题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）
,
,
,
,
两式相减，得
,
,
为等差数列，首项为2，公差为1,
.
（2）
是首项为2，公比为2的等比数列，
为偶数时，
为奇数时，
（3）
，
设
，
乙同学的观点正确.
解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本题满分18分）各项均为正数的数列的前.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
