题文
（本小题满分13分）已知数列
.如果数列
满足
，
，其中
，则称
为
的“衍生数列”.
（Ⅰ）若数列
的“衍生数列”是
，求
；
（Ⅱ）若
为偶数，且
的“衍生数列”是
，证明：
的“衍生数列”是
；
（Ⅲ）若
为奇数，且
的“衍生数列”是
，
的“衍生数列”是
，….依次将数列
，
，
，…的第
项取出，构成数列
.证明：
是等差数列. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）解：
. ………………3分
（Ⅱ）证法一：
证明：由已知，
，
.
因此，猜想
. ………………4分
① 当
时，
，猜想成立；
② 假设
时，
.
当
时，
故当
时猜想也成立.
由 ①、② 可知，对于任意正整数
，有
. ………………7分
设数列
的“衍生数列”为
，则由以上结论可知
，其中
.
由于
为偶数，所以
，
所以
，其中
.
因此，数列
即是数列
. ………………9分
证法二：
因为
，
，
，
……
，
由于
为偶数，将上述
个等式中的第
这
个式子都乘以
，相加得
即
，
. ………………7分
由于
，
，
根据“衍生数列”的定义知，数列
是
的“衍生数列”. ………………9分
（Ⅲ）证法一：
证明：设数列
,
,
中后者是前者的“衍生数列”.欲证
成等差数列，只需证明
成等差数列，即只要证明
即可. ……10分
由（Ⅱ）中结论可知
，
，
所以，
，即
成等差数列，
所以
是等差数列. ………………13分
证法二：
因为
，
所以
.
所以欲证
成等差数列，只需证明
成等差数列即可. ………………10分
对于数列
及其“衍生数列”
，
因为
，
，
，
……
，
由于
为奇数，将上述
个等式中的第
这
个式子都乘以
，
相加得
即
.
设数列
的“衍生数列”为
，
因为
，
，
所以
， 即
成等差数列.
同理可证，
也成等差数列.
即
是等差数列.
所以
成等差数列. ………………13分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分13分）已知数列.如果数列满.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
