) (本题满分14分) 设等差数列{an}的首项a1为a，前n项和为Sn．(Ⅰ) 若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；(Ⅱ) 证明：n∈N*

题文

) (本题满分14分) 设等差数列{a_n}的首项a₁为a，前n项和为S_n．
(Ⅰ) 若S₁，S₂，S₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅱ) 证明：

n∈N*, S_n，S_n＋1，S_n＋2不构成等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

Ⅰ) 解：设等差数列{a_n}的公差为d，则S_n＝na＋

，
S₁＝a，S₂＝2a＋d，S₄＝4a＋6d．由于S₁，S₂，S₄成等比数列，因此


＝S₁

S₄，即得d (2a－d)＝0．所以，d＝0或2a．
(1) 当d＝0时，a_n＝a；
(2) 当d＝2a时，a_n＝(2n－1)a．                 …………6分
(Ⅱ) 证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，S_m，S_m＋1，S_m＋2构成等比数列，即

．因此
a²＋mad＋

m(m＋1)d²＝0，     ①
(1) 当d＝0时，则a＝0，此时S_m＝S_m＋1＝S_m＋2＝0，与等比数列的定义矛盾；
(2) 当d≠0时，要使数列{a_n}的首项a存在，必有①中的Δ≥0．
然而Δ＝(md)²－2m(m＋1)d²＝－(2m＋m²)d²＜0，矛盾．
综上所述，对任意正整数n，S_n，S_n＋1，S_n＋2都不构成等比数列．  …………14分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“) (本题满分14分) 设等差数列{an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。