题文
设数列
的前
项和为
,对任意的正整数
,都有
成立,记
｡
(I)求数列
的通项公式;
(II)记
,设数列
的前
项和为
,求证:对任意正整数
都有
;
(III)设数列
的前
项和为
｡已知正实数
满足:对任意正整数
恒成立,求
的最小值｡ 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（Ⅰ）当
时，
又
数列
成等比数列，其首项
，公比是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
=
又
当
当
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知
恒成立，取n为大于1的奇数时，设
则
>
对一切大于1的奇数n恒成立
只对满足
的正奇数n成立，矛盾。
另一方面，当
时，对一切的正整数n都有
事实上，对任意的正整数k，有
当n为偶数时，设
则
<
当n为奇数时，设
则
<
对一切的正整数n，都有
综上所述，正实数
的最小值为4
解析
略考点
据考高分专家说，试题“设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
