(本小题满分13分)已知f(x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1).设f(a1)，f(a2)，…，f(an)…(n∈N)是首项为m2，公比为m的等比数列

题文

(本小题满分13分)
已知f(x)＝m^x(m为常数，m>0且m≠1).
设

f(a₁)，f(

a₂)，…，f(a_n)…(n∈N^)是首项为m²，公比为m的等比数列.
(1)求证：数列{a_n}是等差数列；
(2)若b_n＝a_n·f(a_n)，且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m＝2时，求S_n；
(3)若c_n＝f(a_n)lgf(a_n)，问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，
求

出m的范围；若不存在，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(1)由题意f(a_n)＝m²·m^n＋1，即ma_n，＝m^n＋1.
∴a_n＝n＋1，(2分)      ∴a_n＋1－a_n＝1，
∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列.(4分)
(2)由题意b_n＝a_nf(a_n)＝(n＋1)·m^n＋1，
当m＝2时，b_n＝(n＋1)·2^n＋1
∴S_n＝2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋(n＋1)·2^n＋1 ①(6分)
①式两端同乘以2，得
2S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋…＋n·2^n＋1＋(n＋1)·2^n＋2 ②
②－①并整理，得

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分13分)已知f(x)＝mx(.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。