题文
（本小题满分14分）已知数列
满足：
，
（其中
为自然对数的底数）．
（1）求数列
的通项
；
（2）设
，
，求证：
，
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）
，
，即
． …………………………………3分
令
，则
，
，
因此，数列
是首项为
，公差为
的等差数列．
， …………………………………5分
． …………………………………6分
（2）（方法一）先证明当
时，
．
设
，则
，
当
时，
，
在
上是增函数，则当
时，
，即
．………8分
因此，当
时，
，
， …………9分
当
时，
，
． …………………10分
．
…………………………12分
．
………………………14分
（方法二）数学归纳法证明
（1）
，
，
当
时，
成立；
，
，
又
，
，
当
时，
成立． ……………………………………………8分
（2）设
时命题成立，即
，
，
当
时，
，
要证
， 即证
，
化简，即证
． …………………………9分
设
，则
，
当
时，
，
在
上是增函数，则当
时，
，即
．
因此，不等式
成立，即当
时
成立． …………………11分
当
时，
，
要证
， 即证
，
化简，即证
．
根据前面的证明，不等式
成立，则
时
成立．
由数学归纳法可知，当
时，不等式
，
成立．……………14分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知数列满足：，（其.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
