题文
(本小题满分16分) [已知数列
满足
,
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)若对每一个正整数
,若将
按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等
差数列, 且公差为
.①求
的值及对应的数列
．
②记
为数列
的前
项和，问是否存在
,使得
对任意正整数
恒成立?若存
在,求出
的最大值；若不存在,请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(Ⅰ)因为
,所以
时,
,两式相减,得
,故数列
从第二项起是公比为
的等比数列…………………………3分
又当n=1时,
,解得
,从而
………5分
(2)①由(1)得
,
[1]若
为等差中项,则
,即
或
,解得
………6分
此时
,所以
……8分
[2]若
为等差中项,则
,即
,此时无解 ………9分
[3]若
为等差中项,则
,即
或
,解得
,此时
,所以
………11分
综上所述,
,
或
,
………
……12分
②[1]当
时,
,则由
,得
,
当
时,
,所以必定有
,所以不存在这样的最大正整数……14分
[2]当
时,
,则由
,得
,因为
,所以
满足
恒成立；但当
时,存在
,使得
即
,所以此时满足题意的最大正整数
…………16分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“(本小题满分16分) [已知数列满足,......”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
