已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，(p – 1)Sn = p2 – an，n ∈N*，p > 0且p≠1，数列{bn}满足

题文

（本小题满分14分）
已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，(p – 1)S_n = p² – a_n，n ∈N^*，p > 0且p≠1，数列{b_n}满足b_n = 2log_pa_n．
（Ⅰ）若p =

，设数列

的前n项和为T_n，求证：0 < T_n≤4；
（Ⅱ）是否存在自然数M，使得当n > M时，a_n > 1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）解：由(p – 1)S_n = p² – a_n(n∈N^*)                   ①
由(p – 1)S_{n – 1} = p² – a_{n – 1}                                     ②
① – ②得

(n≥2)
∵a_n > 0(n∈N^*)
又(p – 1)S₁ = p² – a₁，∴a₁ = p
{a_n}是以p为首项，

为公比的等比数列
a_n = p


b_n = 2log_pa_n = 2log_pp^{2 – n}
∴b_n =" 4" – 2n …………4分
证明：由条件p =

得a_n = 2^{n – 2}
∴T_n =

                          ①


                            ②
① – ②得



=" 4" – 2 ×


=" 4" – 2 ×


∴T_n =

…………8分
T_n – T_{n – 1} =


当n > 2时，T_n – T_{n – 1}< 0
所以，当n > 2时，0 < T_n≤T₃ = 3
又T₁ = T₂ = 4，∴0 < T_n≤4．…………10分
（Ⅱ）解：若要使a_n > 1恒成立，则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论
当p > 1时，2 – n > 0，n < 2
当0 < p < 1时，2 – n < 0，n > 2


        ∴当0 < p < 1时，存在M = 2
当n > M时，a_n > 1恒成立．…………14分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知各项均为正数的数.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。