题文
．（本小题满分16分）数列
中，
，
，且
．
（1）求
及
的通项公式；
（2）设
是
中的任意一项，是否存在
，使
成等比数列？如存在，试分别写出
和
关于
的一个表达式，并给出证明；
（3）证明：对一切
，
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）
，故
． …………………1分
时，
∴
，∴
为常数列． ………………………4分
∴
，所以
．
又
也满足上式，
∴
的通项公式为
． ………………………6分
（2）当
，
时满足
成等比数列．
证明如下：
，
，
显然
成等比数列． …………………………10分
（3）证明：
时，
， …………………12分
∴当
时，
． …………………………15分
又
时，
，∴对一切
，
． …………………16分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“．（本小题满分16分）数列中，，，且．（.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
