在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列.(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，a_n,S_n,S_n－

成等比数列.
(1)求a₂,a₃,a₄，并推出a_n的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；
(3)求数列{a_n}前n项的和. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：∵a_n,S_n,S_n－

成等比数列，∴S_n²=a_n·(S_n－

)(n≥2)                      (^*)
(1)由a₁=1,S₂=a₁+a₂=1+a₂,代入(^*)式得:a₂=－


由a₁=1，a₂=－

,S₃=

+a₃代入(^*)式得：a₃=－


同理可得：a₄=－

,由此可推出：a_n=


(2)①当n=1,2,3,4时，由(^*)知猜想成立.
②假设n=k(k≥2)时，a_k=－

成立
故S_k²=－

·(S_k－

)
∴(2k－3)(2k－1)S_k²+2S_k－1=0
∴S_k=

 (舍)
由S_k+1²=a_k+1·(S_k+1－

),得(S_k+a_k+1)²=a_k+1(a_k+1+S_k－

)



由①②知，a_n=

对一切n∈N成立.
(3)由(2)得数列前n项和S_n=

 .

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。