题文
由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”
，将构图边数增加到
可得到“
边形数列”，记它的第
项为
，
1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28
（1） 求使得
的最小
的取值；
（2） 试推导
关于
、
的解析式；
( 3) 是否存在这样的“
边形数列”,它的任意连续两项的和均为完全平方数,若存在,指出所有满足条件的数列并证明你的结论;若不存在,请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解: (1)
, 3分
由题意得
,
所以,最小的
. 5分
(2)设
边形数列所对应的图形中第
层的点数为
,则
从图中可以得出:后一层的点在
条边上增加了一点,两条边上的点数不变,
所以
,
所以
是首项为1公差为
的等差数列,
所以
.(或
等) 13分
(3)
16分
显然
满足题意, 17分
而结论要对于任意的正整数
都成立,则
的判别式必须为零,
所以,
,
19分
所以,满足题意的数列为“三角形数列”.
解析
略考点
据考高分专家说，试题“由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
