题文
设数列{
n}满足
1＝
，
n＋1＝
n2＋
1，
．
(Ⅰ)当
∈(－∞,－2)时，求证：
M；
(Ⅱ)当
∈(0,
］时，求证：
∈M；
(Ⅲ)当
∈(
,＋∞)时，判断元素
与集合M的关系，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型
答案
见解析解析
(I)如果
，则
，
．(2)易采用数学归纳法证明.
（3）本小题难度偏大，一般学生解决不了，可以放弃，放弃也是一种勇气，也是一种能力.
本小题的思路是对于任意
，
，且
．
对于任意
，
，
则
．所以，
．进行到此，问题基本得以解决
证明：（1）如果
，则
，
． ……………2分
（2） 当
时，
（
）．
事实上，当
时，
． 设
时成立（
为某整数），
则对
，
．
由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤
＜2，所以a∈M．…………………6分
（3） 当
时，
．证明如下：
对于任意
，
，且
．
对于任意
，
，
则
．所以，
．
当
时，
，即
，因此
考点
据考高分专家说，试题“设数列{n}满足1＝，n＋1＝n2＋1，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
