在数列{an}中,已知a1=1,a2=3,an+2= 3an+1- 2an.(1)证明数列{ an+1- an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设

题文

在数列{a_n}中,已知a₁=1,a₂=3,a_n+2= 3a_n+1- 2a_n.
(1)证明数列{ a_n+1- a_n}是等比数列,并求数列{a_n}的通项公式;
(2)设b_n=

,{b_n}的前n项和为S_n,求证

题型：未知 难度：其他题型

答案

⑴a_n=a₁+(a₂-a₁)+ (a₃-a₂)+…+(a_n- a_n-1)=1+2+2²+…+2^n-1=

=2ⁿ-1;
⑵b_n=

=log₂2ⁿ=n,S_n=

,


,
所以


=2

<2.

解析

本题是中档题，考查等差数列的基本性质，考查计算能力，利用数列的前3项是等比数列建立方程是解题的关键．本题第二小题借用（1）结论用解方程组的方法求出数列通项，设计巧妙，值得借鉴
（1）由a_n+2= 3a_n+1- 2a_n得a_n+2- a_n+1= 2(a_n+1- a_n),a₂-a₁=2,
所以,{ a_n+1- a_n}是首项为2,公比为2的等比数列,从而得到结论。
(2)因为b_n=n,那么结合已知关系式得到裂项求和，从而求解得到结论。

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中,已知a1=1,a2=3.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。