已知数列{an}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，－2成等差数列．(1)求公比q的值；(2)求Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋

题文

已知数列{a_n}是首项a₁＝4，公比q≠1的等比数列，S_n是其前n项和，且4a₁，a₅，－2

成等差数列．
(1)求公比q的值；   
(2)求T_n＝a₂＋a₄＋a₆＋…＋a_2n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)q＝－1.(2) T_n＝na₂＝－4n.

解析

本试题主要是考查了等比数列的通项公式的求解，以及等比数列的求和的综合运用。
（1）由题意得2a₅＝4a₁－2a₃.
∵{a_n}是等比数列且a₁＝4，公比q≠1，
∴2a₁q⁴＝4a₁－2a₁q²，∴q⁴＋q²－2＝0解得q的值。
（2）因为a₂，a₄，a₆，…，a_2n是首项为a₂＝4×(－1)＝－4，公比为q²＝1的等比数列，那么利用等比数列的前n项和公式得到结论。
解 (1)由题意得2a₅＝4a₁－2a₃.
∵{a_n}是等比数列且a₁＝4，公比q≠1，
∴2a₁q⁴＝4a₁－2a₁q²，∴q⁴＋q²－2＝0，
解得q²＝－2(舍去)或q²＝1，∴q＝－1.
(2)∵a₂，a₄，a₆，…，a_2n是首项为a₂＝4×(－1)＝－4，公比为q²＝1的等比数列，∴T_n＝na₂＝－4n.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项a1＝4，公比q≠.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。