数列｛an｝满足a1=1,an=an-1+1　 (n≥２) ⑴　写出数列｛an｝的前５项；⑵　求数列｛an｝的通项公式。

题文

（本小题满分12分）数列｛a_n｝满足a₁=1,a_n=

a_n-1+1 (n≥２)
⑴ 写出数列｛a_n｝的前５项；
⑵ 求数列｛a_n｝的通项公式。 题型：未知 难度：其他题型

答案

⑴ a₁="1" ,a₂=

⑵ a_n=2

。

解析

本试题主要是考查了数列递推关系求解数列的通项公式和前n项和。
（1）对于n令值，得到数列的前几项的值。
（2）根据前几项，归纳猜想，得到数列的通项公式，并运用数学归纳法加以证明。
解 ⑴ a₁="1" ,a₂=


（ 猜想 



 ｛a_n-2｝是等比数列 ）………4分
⑵ 解法一由a_n=

a_n-1+1 (n≥２) 得a_n－2=

(a_n-1－2) ………7分
令 b_n= a_n－2 则b_n=

b_n-1
又b₁=a₁－2=-1 故｛b_n｝是等比数列，首项－1，公比为

，………9分
b_n=

  ………11分
于是 a_n=2

………12分
解法二 设 a_n+k=h(a_n-1+k)其中k、h为待定系数。
将a_n=ha_n-1+kh-k 与  a_n=

a_n-1+1 比较得  h=

 , k=－2
故a_n－2=

(a_n-1－2)   (n≥２)      而  a₁－2=－1
数列｛a_n－2｝是以

为公比，－1首项的等比数列。
a_n－2=

，   a_n=2

。

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）数列｛an｝满足a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。