题文
(本小题满分12分)已知点
是区域
,(
)内的点，目标函数
，
的最大值记作
.若数列
的前
项和为
，
,且点（
）在直线
上.
（Ⅰ）证明：数列
为等比数列；
（Ⅱ）求数列
的前
项和
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）∴
解析
（1）根据当直线过点
时，目标函数取得最大值，故
进而得到
的关系式，然后利用通项公式与前n项和的关系得到证明。
（2）由（Ⅰ）得
，∴
，根据通项公式的特点，分组求和得到结论。
解：（Ⅰ）由已知当直线过点
时，目标函数取得最大值，故
∴方程为
∵（
）在直线
上，
∴
①
∴
②
由①-②得，
∴
，
∴
∵
， ∴数列
以
为首项，
为公比的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，∴
∵
， ∴
∴
点评：解决该试题的关键是分析出线性目标函数的最优解，然后得到
，然后得到
。
考点
据考高分专家说，试题“(本小题满分12分)已知点是区域,()内.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
