数列是首项为23，公差为整数的等差数列，且，．求：数列的公差；前项和的最大值；当时，求的最大值．

题文

（本小题满分15分）
数列

是首项为23，公差为整数的等差数列，且

，

．
求：（1）数列

的公差；
（2）前

项和

的最大值；
（3）当

时，求

的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；    （2）78 ；          （3）12 。          

解析

(1)由

，

得：

，所以

，
因为公差为整数，所以

                                …………5分
(2)由（1）易知，

<0,

,

,
所以前6项和最大，最大为S₆=78。                            …………10分
(3)由S_n=23n+

=

得：

，又n∈N^*，
所以n的最大值为12．                                       …………15分
点评：本题以等差数列为载体，考查等差数列的性质、通项公式以及前n项和公式．正确运用等差数列通项及前n项和公式，是解题的关键．

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分15分）数列是首项为23，公.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。