已知数列中，，. ⑴ 求出数列的通项公式；⑵ 设，求的最大值。

题文

（本题满分14分）已知数列

中，

，

.
⑴ 求出数列

的通项公式；
⑵ 设

，求

的最大值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）

。

解析

（1）本试题主要是利用递推关系式得到

是以2为首项，1为公差的等差数列，进而得到通项公式。（2）利用第一问的结论，结合裂项法求和得到b_n，求解其最值。
解：（1）∵

 
∴

是以2为首项，1为公差的等差数列…2分
∴

     …………5分
∴

， ∴数列

的通项公式为

………6分
（2）










  ………10分
令

，则

， 当

恒成立
∴ 

在

上是增函数，故当

时，

…13分
即当

时， 

                            ………14分   
另解：





∴ 数列

是单调递减数列，∴


点评：解决该试题的关键是能根据已知的递推关系，结合等差数列的定义得到数列a_n的通项公式，进而得到a_na_n+1的通项公式，采用裂项法得到和式。

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分14分）已知数列中，，. ⑴ .....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。