题文
设数列
的前
项和为
，若对任意
，都有
.
⑴求数列
的首项；
⑵求证：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
⑶数列
满足
，问是否存在
，使得
恒成立？如果存在，求出
的值，如果不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
⑴
；⑵
；⑶
。
解析
⑴∵
∴
3分
⑵∵
∴
(
≥2)
∴
5分
∴
∴
(为常数) (
≥2)
∴数列
是以
为公比的等比数列 7分
∴
10分
⑶∵
∴
∴
12分
14分
∴当
≥3时，
＜1； 当
=2时，
＞1
∴当
2时，
有最大值
∴
15分
∴
16分
点评：中档题，本题具有较强的综合性，本解答根据
的关系确定通项公式，认识到数列的特征。对于存在性问题，往往先假设存在，本题通过考察
的单调性，利用“放缩法”，证明假设的合理性。
考点
据考高分专家说，试题“设数列的前项和为，若对任意，都有.⑴求数.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
