题文
已知各项均为正数的数列{a
}满足a
=2a
+a
a
，且a
+a
=2a
+4，其中n∈N
.
（Ⅰ）若b
=
，求数列{b
}的通项公式；
（Ⅱ）证明：
+
+…+
>
（n≥2）. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）b=
（n∈N
）
（2）构造函数借助于函数的最值来证明不等式。
解析
解：（Ⅰ）因为a
=2a
+a
a
，即（a
+a
）（2a
－a
）=0. 1分
又a
>0，所以有2a
－a
=0，即2a
=a
所以数列
是公比为2的等比数列， 3分
由
得
，解得
。
从而，数列{a
}的通项公式为a
=2
（n∈N
），即：b
=
（n∈N
）. 5分
（Ⅱ）构造函数f（x）=
－
（b
－x）（x>0），
则f′（x）=
－
+
=
，
当0
时，f′（x）>0，x>b
时，f′（x）<0，
所以f（x）的最大值是f（b
）=
，所以f（x）≤
. 7分
即
≥
－
（b
－x）（x>0，i=1，2，3…n），取“=”的条件是x=b
（i=1，2，3…n），
所以
+
+…+
>
－
（b
+b
+…+b
－nx）， 9分
令x=
，则
+
+…+
>
，
所以
+
+…+
>
， 11分
即
+
+…+
>
（n≥2）. 12分
点评：解决的关键是能利用等比数列来求解通项公式，同时能结合导数来拍脑袋函数单调性，以及求解函数的最值，同时证明不等式，属于中档题。
考点
据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{a}满足a=2a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
