已知数列满足：，定义使为整数的叫做希望数，则区间[1，2013] 内所有希望数的和M=A．2026 B．2036C．32046 D．2048

题文

已知数列

满足：

，定义使

为整数的

叫做希望数，则区间[1，2013] 内所有希望数的和M=（   ）A．2026 B．2036C．32046 D．2048 题型：未知 难度：其他题型

答案

A

解析

=

，（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=

，
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2．
∴k∈[1，2013]内所有的幸运数的和
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=

-2×9=2026，故选A。
点评：中档题，作为新定义问题，关键是理解题意。本题综合性较强，对考查学生综合应用数学知识的能力有较好的考查。

考点

据考高分专家说，试题“已知数列满足：，定义使为整数的叫做希望数.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。