设各项均为正数的等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a3＋a5＝40. 数列{bn}中，前n项和(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)若c1＝1，c

题文

设各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁＋a₃＝10，a₃＋a₅＝40. 数列{b_n}中，前n项和


(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
(2)若c₁＝1，c_n＋1＝c_n＋

，求数列

的通项公式
(3)是否存在正整数k，使得

＋

＋…＋

＞

对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

）   (2) 

   （3）

解析

（1）解：设数列{a_n}的公比为q（q＞0），由a₁+a₃=10，a₃+a₅=40，则a₁+a₁q²=10①，a₁q²+a₁q⁴=40②∵a₁≠0，②÷①得：q²=±2，又q＞0，∴q=2．把q=2代入①得，a₁=2．∴a_n=a₁q^n-1=2×2^n-1=2ⁿ根据

，那么对于n=1，

，综上可知


（2）那么可知c₁＝1，c_n＋1＝c_n＋

= c_n＋

 ，利用累加法可知


（3）假设存在正整数K，使得

＋

＋…＋

＞

对任意正整数n均成立，则只要求解

的前n项和即可通过放缩法得到k的取值范围,即

。
点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，属中档题．

考点

据考高分专家说，试题“设各项均为正数的等比数列{an}中，a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。