已知数列的前n项和为，点在直线上.数列{bn}满足，前9项和为153.求数列、的通项公式；设，数列的前n和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的

题文

已知数列

的前n项和为

，点

在直线

上.数列{bn}满足



，前9项和为153.
（Ⅰ）求数列

、

的通项公式；
（Ⅱ）设

，数列

的前n和为

，求使不等式

对一切

都成立的最大正整数k的值. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

 , b_n=b₃+3（n﹣3）=3n+2；
(2)

解析

解：（1）∵点

在直线

上，
∴

∴S_n=

∴n≥2时，a_n=S_n﹣S_n﹣1=n+5，
n=1时，a₁=6也符合
∴a_n=n+5；∵b_n+2﹣2b_n+1+b_n=0，∴b_n+2﹣b_n+1=b_n+1﹣b_n，
∴数列{b_n}是等差数列∵其前9项和为153．
∴b₅=17∵b₃=11，∴公差d=

=3
∴b_n=b₃+3（n﹣3）=3n+2；
（2）

=

（

）
∴T_n=

（1﹣

+

﹣

+…+

）=

=

．


解得




点评：主要是考查了等差数列和裂项法求和的运用，属于中档题。

考点

据考高分专家说，试题“已知数列的前n项和为，点在直线上.数列{.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。