题文
知数列
的首项
前
项和为
，且
（1）证明：数列
是等比数列；
（2）令
，求函数
在点
处的导数
,并比较
与
的大小. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)详见解析;（2）
; 当
时，
; 当
时，
;当
时，
.
解析
（1）先利用
与
的递推关系得到
与
的递推关系式，再通过构造新数列，并结合等比数列的定义来证明
是等比数列；（2）先求导得到
的表达式，然后分组求和，一部分是用错位相减法，另一部分是用等差数列求和公式，最后通过作差比较
与
的大小情况.
试题解析：（1）由已知
，可得
两式相减得
即
从而
4分
当
时
所以
又
所以
从而
5分
故总有
，
又
从而
即数列
是等比数列； 6分
（2）由（1）知
,因为
所以
从而
=
=
令
，
错位相减得，
10分
由上
=
=12
①
当
时，①式=0所以
；
当
时，①式=12
所以
当
时，
又由函数
可
所以
即①
从而
14分
项和的求法，3、函数的求导.
考点
据考高分专家说，试题“知数列的首项前项和为，且（1）证明：数列.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
