题文
已知数列
满足
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）令
，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与
的大小，并予以证明. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）详见解析.
解析
（1）由于数列
的递推式的结构为
，在求数列的通项的时候可以利用累加法来求数列
的通项公式；（2）先求出数列
的通项公式，根据其通项结构选择错位相减法求出数列
的前
项和
，在比较
与
的大小时，一般利用作差法，通过差的正负确定
与
的大小，在确定差的正负时，可以利用数学归纳法结合二项式定理进行放缩来达到证明不等式的目的.
试题解析：（1）当
时，
.
又
也适合上式，所以
.
（2）由（1）得
，所以
.
因为
①，所以
②.
由①－②得，
，
所以
.
因为
，
所以确定
与
的大小关系等价于比较
与
的大小.
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；……，
可猜想当
时，
.
证明如下：当
时，
.
综上所述，当
或
时，
；当
时，
.
考点
据考高分专家说，试题“已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
