题文
已知数列
的前
项和
，满足：
.
（Ⅰ）求数列
的通项
；
（Ⅱ）若数列
的满足
，
为数列
的前
项和，求证：
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
；（Ⅱ）详见解析.
解析
（Ⅰ）求数列
的通项
,由已知
,而
与
的关系为
,代入整理得
,可构造等比数列求通项公式；（Ⅱ）由
,可求出
,从而得
,显然是一个等差数列与一个等比数列对应项积组成的数列,可用错位相减法求数列的和,可证
.
试题解析：（Ⅰ）解：当
时,
,则当
时,
两式相减得
，即
,∴
,∴
，当
时，
，则
,∴
是以
为首项,2为公比的等比数列,
∴
,∴
；
（Ⅱ）证明:
,∴
, 则
,
,两式相减得
,
,当
时,
, ∴
为递增数列,∴
求数列的通项公式, 2、错位相减法求数列的和.
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的前项和，满足：.（Ⅰ）求数列的.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
