题文
已知数列
满足
，
.
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)设
，数列
的前
项和为
，求证：
(其中
). 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）见解析；（2）
；（3）见解析.
解析
（1）首先由
求出
，然后
时，构造函数
，即可证明在
条件下数列
是等比数列，将
时的值代入也符合，即证；（2）先由（1）得到
，然后写出
的通项公式，根据等比数列前
项和公式求出
；（3）求出数列
的通项公式，再由累加法求其前
项和为
，再判断
与
的关系.
试题解析：（1）证明：由
，
得
，
当
时，
，即
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
时，也符合，所以数列
是等比数列； .5分
（2）
，由（I）得
，所以
.
所以
，
数列
的前n项和
. 10分
（3）证明：
所以，数列
的前n项和为
因为当
时，
，所以
14分
项和；4、累加法求数列的前
项和.
考点
据考高分专家说，试题“已知数列满足，.(1)求证：数列是等比数.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
