题文
已知数列
的前
项和
（
为正整数）
（1）令
，求证数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
（2）令
，
，试比较
与
的大小，并予以证明 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）见解析；（2）见解析解析
（1）由题意数列
的前
项和表达式，先根据
求数列
的通项
的递推关系式，再求数列
是等差数列，根据等差数列
的通项求数列
的通项；（2）由（1）所求数列
的通项
先得
，再利用错位相减法求
得表达式，再把
与
作差比较大小，可利用数学归纳法证明
试题解析：（I）在
中，令n=1，可得
，即
当
时，
，
又
数列
是首项和公差均为1的等差数列
于是
(II)由（I）得
，所以
由①-②得
于是确定
的大小关系等价于比较
的大小
由
可猜想当
证明如下：
证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。
（2）假设
时，
，
所以当
时猜想成立，
综合（1）（2）可知，对一切
的正整数，都有
证法2：
当
时
，
综上所述，当
时，
；当
时
项和；2、错位相减法求和；3、作差比较法
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的前项和（为正整数）（1）令，求.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
