在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29．求数列{an}的通项公式；设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求数列{

题文

在等差数列{a_n}中，a₂＋a₇＝－23，a₃＋a₈＝－29．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n＋b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

；（Ⅱ）当c＝1时，S_n＝

＋n＝

；当c≠1时，S_n＝

＋

．

解析

（Ⅰ）根据等差数列的通项公式，列出方程组

，解得

，从而写出通项公式为

；（Ⅱ）根据题目条件，写出

的通项公式为a_n＋b_n＝c^n－1，代入

，得出

的通项公式b_n＝3n－2＋c^n－1，可知

是由等差数列和等比数列组成，则根据分组求和得出

，但注意等比数列的公比

，讨论当

，和当

两种情况.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则


解得


∴数列{a_n}的通项公式为a_n＝－3n＋2．
（Ⅱ）∵数列{a_n＋b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，
∴a_n＋b_n＝c^n－1，即－3n＋2＋b_n＝c^n－1，∴b_n＝3n－2＋c^n－1．
∴S_n＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋c＋c²＋…＋c^n－1)
＝

＋(1＋c＋c²＋…＋c^n－1)．
当c＝1时，S_n＝

＋n＝

；当c≠1时，S_n＝

＋

．

考点

据考高分专家说，试题“在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。