题文
已知数列
中，
前
和
（1）求证：数列
是等差数列
（2）求数列
的通项公式
（3）设数列
的前
项和为
，是否存在实数
，使得
对一切正整数
都成立？若存在，求
的最小值，若不存在，试说明理由。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析；（2）
；（3）
．
解析
（1）由
可得
，两式相减即得关于数列项的递推关系式，从而进行化简进行判断数列
为等差数列；（2）由数列的第一项和递推关系式可求出数列的第二项，从而求出数列的公差，进而求出数列的通项公式；（3）这是一个不等式恒成立问题，
的最小值就是
的最大值（上确界），而求
是我们所熟悉的裂项相消法，于是本题不难得到结果.
试题解析：（1）由
，知
，两式相减得，
，
整理得
，所以
，
两式再相减整理得，
，
∴数列
为等差数列。
（2）
即公差为2
（3）
要使得
对一切正整数
恒成立，只要
≥
，
所以存在实数
使得
对一切正整数
都成立，
的最小值为
。
考点
据考高分专家说，试题“已知数列中，前和（1）求证：数列是等差数.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
