题文
已知数列
，满足
，
，
（1）求
的值；
（2）猜想数列
的通项公式
，并用数学归纳法证明；
（3）己知
，设
，记
，求
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）；
；（2）
，证明见解析；（3）3．.
解析
（1）这属于已知数列的递推关系式，求数列的项的问题，我们只要在已知递推关系式中依次令
就可以依次求出
；（2）用归纳法归纳数列的通项公式，我们可以由数列的前几项
想象各项与项数
之间的联系，如
，
，
，
，
从而归纳出结论
，然后数学归纳法证明，这里数学归纳法的基础即第一步已经不需另证了，关键是第二步，假设
时，
，然后由已知条件求出
，那么结论就是正确的；（3）按常规方法，先求
，
，接着求数列
的前
项和
，根据其通项公式的形式（它是一个等差数列所一个等比数列对应项相乘所得），求和用乘公比经错位相减法，求得
，然后借助已知极限
可求出极限
.
试题解析：(1)
，
∴
．
，分别令
，可得
，
(2)猜想数列
的通项公式为
.用数学归纳法证明如下：
证明 (i)当
时，由(1)知结论成立；当
时，
,结论成立.
(ii)假设
时，结论成立，即
.
当
时，
.
所以，
，即
时，结论也成立.
根据(i)和(ii)可以断定，结论
对一切正整数
都成立.
(3)由(2)知，
，
． 于是，
，
．
所以，
．
考点
据考高分专家说，试题“已知数列，满足，，（1）求的值；（2）猜.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
