题文
已知数列
的前n项和为
，且满足
，
.
（1）求数列
的通项公式
；
（2）设
为数列{
}的前n项和，求
；
（3）设
，证明：
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
(2)
（3）见解析
解析
(1)当
带入式子
结合
即可得到
的值,当
时,利用
与
的关系(
)即可得到
是一个常数,即可得到数列
为等差数列,但是需要验证
是否符合,进而证明
为等差数列,即可求的通项公式.
(2)把(1)中得到的
的通项公式带入
可得
,即为等差数列与等比数列的乘积,故需要利用错位相减法来求
的前n项和
.
(3)把(1)得到的
带入
,观察
的通项公式为分式,为求其前n项和可以考虑利用裂项求和法.进行裂项
,在进行求和就可以得到
的前n项和为
,利用
非负即可证明原不等式.
试题解析：
（1）由题意，当
时，有
， （1分）
两式相减得
即
. （2分）
由
，得
.
所以对一切正整数n，有
， （3分）
故
，即
. （4分）
（2）由（1），得
，
所以
① （5分）
①两边同乘以
，得
② （6分）
①-②，得
， （7分）
所以
， （8分）
故
. （9分）
（3）由（1），得
（12分）
（13分）
. （14分）
考点
据考高分专家说，试题“已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
