题文
设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知an+1=2Sn+2(
)
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，
①在数列{dn}中是否存在三项dm，dk，dp（其中m,k,p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由；
②求证：
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）见解析
解析
（1）利用Sn与an之间的关系
,即可得到关于an+1,an的递推式，证明an为等比数列，且可以知道公比，当n=1时，可以得到a1与a2之间的关系，在根据an等比数列，可以消掉a2得到首项的值，进而得到通项公式.
（2）根据等差数列公差与项之间的关系(
),可以得到
，带入an得到dn的通项公式.
①假设存在，dm，dk，dp成等比数列，可以得到关于他们的等比中项式子，把dn的通项公式带入计算可以得到
，则m,k,p既成等差数列也是等比数列，所以三者相等，与数列{dn}中是否存在三项dm，dk，dp(不相等)矛盾,所以是不存在的.
②利用(2)所得求出
的通项公式，再利用错位相减可以求得
,利用不等式的性质即可得到
证明原式.
试题解析：
（1）由
,
可得：
,
两式相减：
. 2分
又
,
因为数列
是等比数列，所以
，故
.
所以
. 4分
（2）由（1）可知
，
因为：
，故：
. 6分
①假设在数列
中存在三项
（其中
成等差数列）成等比数列，
则：
，即：
,
（*） 8分
因为
成等差数列，所以
,
（*）可以化简为
，故
，这与题设矛盾.
所以在数列
中不存在三项
（其中
成等差数列）成等比数列.10分
②令
，
,
11分
两式相减：
13分
. 14分
考点
据考高分专家说，试题“设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
