题文
已知数列
是公差为
的等差数列，且
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设数列
的前
项和为
.
证明：
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
;（2）证明见解析.
解析
（1）根据题意，要求
，首先求
，因为数列
是等差数列，且首项为1，公差为2，由等差数列的通项公式可立即得到
，从而得
；（2）要证明相应的不等式，应该先求数列
的前
项和，为此要明确这个数列是什么数列，从（1）知数列
是一个等差数列相邻项相乘取倒数所得，因此其前
项和宜采用裂项相消的方法求得，具体就是
，这样在和式
中，前后项可相消为零，从而
，从而可知数列
是递增数列，最小项为
，又从
表达式可知
，不等式得证.
试题解析：（1）由已知
是公差为
的等差数列，
，又
，
3分
5分
（2）
7分
9分
，
随
的增大而增大，
11分
又
12分
. 13分
考点
据考高分专家说，试题“已知数列是公差为的等差数列，且.（1）求.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
