数列{an}满足，则{an}的前项和为

题文

数列{a_n}满足

，则{a_n}的前

项和为       题型：未知 难度：其他题型

答案

1830

解析

法一：由

得，




，
即

，也有

，两式相加得

，设

为整数，
则

，
于是


法二：∵


∴a₂=a₁+1，a₃=－a₂+3=－(a₁+1)+3=－a₁+2，a₄=a₃+5=－a₁+7，
a₅=a₁，a₆=a₁+9，a₇=－a₁+2，a₈=－a₁+15
a₉=a₁，a₁₀=a₁+17，a₁₁=－a₁+2，a₁₂=－a₁+23
a₁₃=a₁，a₁₄=a₁+25，a₁₅=－a₁+2，a₁₆=－a₁+31
∴a₁+a₂+a₃+a₄=1+2+7=10，
a₅+a₆+a₇+a₈=9+2+15=26，
a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂=17+2+23=42，
a₁₃+a₁₄+a₁₅+a₁₆=25+2+31=58，
由此发现，此数列的每四项之和为一常数，且每四项和构成一首项为10，公差为16的等差数列，而60=15×4，所以{a_n}的前

项和为15×10+

=1830

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足，则{an}的前项和为.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。