题文
设数列
的前
项和为
，对任意的正整数
，都有
成立，记
.（1）（1）求数列
与数列
的通项公式；
（2）设数列
的前
项和为
，是否存在正整数
，使得
成立？若存在，找出一个正整数
；若不存在，请说明理由．
（3）记
，设数列
的前
项和为
，求证：对于
都有
题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
；(2)不存在，见解析；（3）见解析.
解析
（1）根据题中给的an=5Sn+1，继而可得an-1=5sn-1+1，两式子相减得，an-an-1=5an，因此
,因而可得出an，bn的通项公式;（2）根据bn的通项公式，算出的前n项和为Rn，再计算出是否存在正整数k;（3）根据bn的通项公式，计算出cn的通项公式，再比较Tn与
的大小.
（1）当
时，
,又
,
,∴数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
∴
，
（2）不存在正整数
，使得
成立。证明：由（1）知
∴当n为偶数时，设
,∴
当n为奇数时，设
∴
∴对于一切的正整数n，都有
,∴不存在正整数
，使得
成立;（3）由
得
又
， 当
时，
，当
时，
考点
据考高分专家说，试题“设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
