数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋＝(　　)A．B．C．D．

题文

数列{a_n}满足a₁＝1，且对任意的m，n∈N^*，都有a_m＋n＝a_m＋a_n＋mn，则

＋

＋

＋…＋

＝( )A．

B．

C．

D．

题型：未知 难度：其他题型

答案

B

解析

令m＝1得a_n＋1＝a_n＋n＋1，
即a_n＋1－a_n＝n＋1，
于是a₂－a₁＝2，a₃－a₂＝3，…，a_n－a_n－1＝n(n≥2)，
上述n－1个式子相加得a_n－a₁＝2＋3＋…＋n，
所以a_n＝1＋2＋3＋…＋n＝

，
当n＝1时，a₁＝1满足上式，
所以a_n＝

 (n∈N^*)，
因此

＝

＝2(

－

)，
所以

＋

＋

＋…＋


＝2(1－

＋

－

＋…＋

－

)
＝2(1－

)
＝

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。