题文
设各项均为正数的数列
的前
项和为
，且
满足
，
.
（1）求
的值；
（2）求数列
的通项公式；
（3）证明：对一切正整数
，有
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
；（3）详见解析.
解析
（1）将
代入方程
得到
，结合题中条件（数列
的各项均为正数，得到
）求出
的值，从而得到
的值；（2）由十字相乘法结合
得到
的表达式，然后在
的情况下，由
求出数列
的表达式，并验证
是否满足该表达式，从而得到数列
的通项公式；（3）解法一是利用放缩法得到
，于是得到
，最后利用裂项求和法证明题中的不等式；解法二是保持
不放缩，在
的条件下放缩为
，最后在
和
时利用放缩法结合裂项法证明相应的不等式.
（1）令
得：
，即
，
，
，
，即
；
（2）由
，得
，
，
，从而
，
，
所以当
时，
，
又
，
；
（3）解法一：当
时，
，
.
证法二：当
时，
成立，
当
时，
，
则
.
与
的关系考查数列通项的求解，以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中等偏难题.
考点
据考高分专家说，试题“设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
