在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形。

题文

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形。 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C，           ①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π，      ②
由①②得，B=

，                                                 ③
由a，b，c成等比数列，有b²=ac，                          ④
由余弦定理及③，可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac， 
再由④，得a²+c²-ac=ac，
即(a-c)²=0，因此a=c，
从而A=C，                                                              ⑤
由②③⑤，得A=B=C=

，
所以△ABC为等边三角形。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“在△ABC中，三个内角A，B，C的.....”主要考查你对 [等比中项 ]考点的理解。 等比中项

等比中项：

若数a，G，b成等比数列，那么就称G为a与b的等比中项，从而有G²＝ab或G＝±

。

等比中项的理解：

如果a，G，b三个数成等比数列，则有G²=ab．反之不一定成立．由等比中项定义可知：

，

，
这表明，只有同号的两项才有等比中项，并且这两项有2个互为相反数的等比中项，当a>0，b>0时，G

又叫做a，b的几何平均数。