在数列{an}和{bn}中，已知an=an，bn=(a+1)n+b，n=l，2，3，…，其中a≥2且a∈N*，b∈R．(Ⅰ)若a1=b1，a2＜b2

题文

在数列{a_n}和{b_n}中，已知a_n=aⁿ，b_n=(a+1)n+b，n=l，2，3，…，其中a≥2且a∈N*，b∈R．
(Ⅰ)若a₁=b₁，a₂＜b₂，求数列{b_n}的前n项和；
(Ⅱ)证明：当a=2，b=

时，数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列；
(Ⅲ)设集合A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}．试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠

，若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)因为a₁=b₁，所以a=a+1+b，b=-1，
由a₂＜b₂，得a₂-2a-1＜0， 所以1-

＜a＜1+

，
因为a≥2且a∈N*，所以a=2，所以bn=3n-1，{b_n}是等差数列，
所以数列{bn}的前n项和

。
(Ⅱ)由已知b_n=3n+

，
假设3m+

，3n+

，3t+

成等比数列，其中m，n，t∈N*，且彼此不等，
则（3m+

）²=（3m+

）（3t+

），
所以9n²+6

n+2=9mt+3

m+3

t+2，
所以3n²-3mt=(m+t-2n)

，
若m+t-2n=0，则3n²-3mt=0，可得m=t，与m≠t矛盾；
若m+l-2n≠0，则m+t-2n为非零整数，(m+t-2n)

为无理数，
所以3n²-3mt为无理数，与3n²-3mt是整数矛盾，
所以数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列。
(Ⅲ)设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠

，
设m₀∈C，则m₀∈A，且m₀∈B，
设m₀=a^t(t∈N*)，m₀=（a+1）s+b(s∈N*)，
则a^t=（a+1）s+b，所以

，
因为a，t，s∈N*，且a＞2，所以a^t-b能被a+1整除，
(1)当t=1时，因为b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，所以，

；
(2)当t=2n(n∈N*)时，


，
由于b∈[1，a]，b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，当且仅当b=1时，a^t-b能被a+1整除；
(3)当t=2n+1(n∈N*)时，





，
由于b∈[1，a]，b+1∈[2，a+1]，
所以，当且仅当b+1=a+1，即b=a时，a^t-b能被a+1整除；
综上，在区间[1，a]上存在实数b，使C=A∩B≠

成立，
且当b=1时，C={y|y=a²ⁿ，n∈N*}；
当b=a时，c={y|y=a²ⁿ⁺¹，n∈N*}。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}和{bn}中，.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。