设{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和，(1)若Sn=20，S2n=40，求S3n的值；(2)若有互不相等的正整数p、q、m，使得p+q

题文

设{a_n}是由正数组成的等差数列，S_n是其前n项和，
(1)若S_n=20，S_2n=40，求S_3n的值；
(2)若有互不相等的正整数p、q、m，使得p+q=2m，证明：不等式S_pS_q＜S_m²成立；
(3)是否存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1(n∈N*)恒成立？若存在，试求出常数k和数列{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(1)在等差数列{a_n}中，

成等差数列，
∴

，
∴

；
(2)











；
(3)设

（p、q为常数)，则

，


，


，
∴

，
依题意有，

，
对一切正整数n成立，∴

，
由①得，p=0或

；
若p=0，代入②有q=0，而p=q=0不满足③，∴p≠0；
将

代入②，
∴

，代入③得，

，
将

代入，得

，解得

，
故存在常数

及等差数列

使其满足题意。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是由正数组成的等差.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。