已知函数。若c=0时，数列{an}满足条件：点在函数的图象上，求{an}的前n项和Sn；在

题文

已知函数

（a，b，c为常数，a≠0）。
（1）若c=0时，数列{a_n}满足条件：点（n，a_n）在函数

的图象上，求{a_n}的前n项和S_n；（2）在（1）的条件下，若a₃=7，S₄=24，p，q∈N⁺（p≠q），证明：

。
（3）若c=1时f（x）是奇函数，f（1）=1，数列{x_n}满足x₁=

，x_n+1=f（x_n），求证：

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）依条件有f（x）=ax+b
因为点（n，a_n）在函数f（x）=ax+b的图象上，
所以a_n=f（n）=an+b
因为a_n+1-a_n=a（n+1）+b-（an+b）=a，
所以{a_n}是首项为a₁=a+b，公差为d=a的等差数列
所以


即数列{a_n}的前n项和

。
（2）依条件有



即


解得


所以a_n=2n+1
所以S_n=n²+2n
因为





又p≠q，
所以-2（p-q）²＜0，
所以


即

。
（3）依条件f（x）=


因为f（x）为奇函数，
所以f（-x）+f（x）=0
即


解得b=0
所以


又f（1）=1，所以a=2
故


因为


所以


因为


所以有

（n∈N*）
又


若


则x_n=1
从而x₁=1，这与

矛盾
所以


所以

（等号不同时成立）
所以


所以








因为


所以


所以


所以

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数（a，b，c为常数，.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。