设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(n≥3，n∈N) 是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…

题文

设P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(n≥3，n∈N) 是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列，其中O是坐标原点。记S_n=a₁+a₂+…+a_n，
（1）若C的方程为

-y²=1，n=3，点P₁(3，0) 及S₃=162，求点P₃的坐标；(只需写出一个)
（2）若C的方程为y²=2px(p≠0)，点P₁(0，0)，对于给定的自然数n，证明：(x₁+p)²，(x₂+p)²，…，(x_n+p)²成等差数列；
（3）若C的方程为

(a＞b＞0)，点P₁(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(1)a₁=

²=9，
由S₃=

(a₁+a₃)=162，得a₃=

³=99，
由

，得

，
∴点P₃的坐标可以为(3

，3)。
(2)对每个自然数k，1≤k≤n，
由题意

²=(k-1)d，及

，得

，
即(x_k+p)²=p²+(k-1)d，
∴(x₁+p)²，(x₂+p)²，…，(x_n+p)²是首项为p²，公差为d的等差数列；
(3)原点O到二次曲线C：

(a＞b＞0)上各点的最小距离为b，最大距离为a，
∵a₁=

²=a²，
∴d＜0，且a_n=

²=a²+(n-1)d≥b²，
∴

≤d＜0，
∵n≥3，

＞0，
∴S_n=na²+

d在[

，0)上递增，
故S_n的最小值为

。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设P1(x1，y1)，P2(.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。