设数列{an}的通项是关于x的不等式x2﹣x＜x 的解集中整数的个数．数列{an}的前n项和为Sn．求an；设m，k，

题文

设数列{a_n}的通项是关于x的不等式x²﹣x＜（2n﹣1）x （n∈N^*）的解集中整数的个数．数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设m，k，p∈N^*，m+p=2k，求证：

+

≥

；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）不等式x²﹣x＜（2n﹣1）x
即x（x﹣2n）＜0，
解得：0＜x＜2n，其中整数有2n﹣1个，
故 a_n=2n﹣1．
（2）由（1）知

，∴S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．
由

=

=


≥

=0，
即

≥

．  
（3）结论成立，证明如下：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则

，
∵


=

，
把m+p=2k代入上式化简得S_m+S_p﹣2S_k=

≥0，
∴S_m+S_p≥2S_k．
又 S_m·S_p =

=


≤


=

=

．
∴

=

≥

=

，
故

+

≥

成立．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的通项是关于x的不等.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。