已知数列{an}满足2an+1=an+an+2，它的前n项和为Sn，且a3=﹣6，S6=﹣30．求数列{an}的前n项和的最小值．

题文

已知数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N*），它的前n项和为S_n，且a₃=﹣6，S₆=﹣30．求数列{a_n}的前n项和的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：在数列{a_n}中，
∵2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴{a_n}为等差数列，
设公差为d，
由

 ，得 

．
∴a_n=a₁+（n﹣1）d=2n﹣12，
∴n＜5时，a_n＜0，n=6时，a_n=0，n＞6时，a_n＞0．
∴{a_n}的前5项或前6项的和最小为﹣30．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足2an+1=a.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。