已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=3，2Sn﹣an=An+B．求A、B的值；求证数列

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a₂=3，2S_n﹣（n+1）a_n=A_n+B（其中A、B是常数，n∈N*）．
（1）求A、B的值；
（2）求证数列 

是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）已知k是正整数，不等式8a _n+1﹣a_n²＜k对n∈N*都成立，求k的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵a₁=1，a₂=3，2S_n﹣（n+1）a_n=A_n+B（n∈N*），
分别取n=1和n=2，
得

，
即

，
解得

．
（2）由（1）知，2S_n﹣（n+1）a_n=﹣n+1（n∈N*），
∴2S_n+1﹣（n+2）a_n+1=﹣n，
得2a _n+1﹣（n+2）a _n+1+（n+1）a_n=﹣1，即na _n+1﹣（n+1）a_n=1．
两边同除以n（n+1），
可化为



．
数列

是以

为首项，公差为零的等差数列，
于是

．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n﹣1（n∈N*）．
（3）由（2）知，a_n=2n﹣1（n∈N*）．
又8a _n+1﹣a_n²＜k，即8（2n+1）﹣（2n﹣1）²＜k，
进一步可化为

．
当n=2或3时，﹣4

的最大值为31，
因此，只要k＞31即满足要求，
又k是正整数，k的最小值为32．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。