函数f的定义域为R，数列{an}满足an=f．若数列{an}是等差数列，a1≠a2，且f﹣f（an﹣1

题文

函数f（x）的定义域为R，数列{a_n}满足a_n=f（a_n﹣1）（n∈N*且n≥2）．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，a₁≠a₂，且f（a_n）﹣f（a_n﹣1）=k（a_n﹣a_n﹣1）（k为非零常数，n∈N*且n≥2），求k的值；
（Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a₁=2，

，数列{b_n}的前n项和为S_n，对于给定的正整数m，如果

的值与n无关，求k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）当n≥2时，
因为a_n=f（a_n﹣1），f（a_n）﹣f（a_n﹣1）=k（a_n﹣a_n﹣1），
所以a _n+1﹣a_n=f（a_n）﹣f（a_n﹣1）=k（a_n﹣a_n﹣1）．
因为数列{a_n}是等差数列，所以a_n+1﹣a_n=a_n﹣a_n﹣1．
因为 a_n+1﹣a_n=k（a_n﹣a_n﹣1），所以k=1．
（Ⅱ）因为f（x）=kx，（k＞1），a₁=2，且a _n+1=f（a_n），
所以a _n+1=ka_n．
所以数列{a_n}是首项为2，公比为k的等比数列，
所以

．
所以b_n=lna_n=ln2+（n﹣1）lnk．
因为b_n﹣b_n﹣1=lnk，
所以{b_n}是首项为ln2，公差为lnk的等差数列．
所以 S_n=

=n[ln2+

]．
因为


=

，
又因为

的值是一个与n无关的量，
所以

=

，解得k=4．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）的定义域为R，数列{a.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。