已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立。求数列{an}的通项公式；设a1＞0，λ=100，

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，常数λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n对一切正整数n都成立。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a₁＞0，λ=100，当n为何值时，数列

的前n项和最大？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）当n=1时，


∴a₁（λa₁-2）=0
若取a₁=0，则S_n=0，a_n=S_n-S_n-1=0
∴a_n=0（n≥1）
若a₁≠0，则

，
当n≥2时，2a_n=

，


两式相减可得，2a_n-2a_n-1=a_n
∴a_n=2a_n-1，
从而可得数列{a_n}是等比数列
∴a_n=a₁·2^n-1=

=


综上可得，当a₁=0时，a_n=0，
当a₁≠0时，

。
（2）当a₁＞0且λ=100时，
令


由（1）可知


∴{b_n}是单调递减的等差数列，公差为-lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₆=

＞0
当n≥7时，


∴数列

的前6项和最大。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。