等差数列{an}的前n项和Sn的最大值只有S7，且|a7|＜|a8|，则使Sn＞0的n的最大值为______．

题文

等差数列{a_n}的前n项和S_n的最大值只有S₇，且|a₇|＜|a₈|，则使S_n＞0的n的最大值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵等差数列{a_n}的前n项和S_n的最大值只有S₇，数列为递减数列，前7项为正，从第8项开始为负．
∴S₁₃=13(a1+a13)2=13a₇＞0．
由于|a₇|＜|a₈|，∴a₇+a₈＜0
∴S₁₄=14(a1+a14) 2=7（a₁+a₁₄）=7（a₇+a₈）＜0．
故使S_n＞0的n的最大值为13，
故答案为 13．

解析

13(a1+a13)2

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}的前n项和Sn的最大值只.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。